一、引言
结构抗震设计理论大致经历了静力阶段、反应谱阶段、动力分析阶段以及基于性态的抗震设计理论阶段四个阶段。
水平静力抗震理论起源于日本。该理论将建筑物视为一个刚体，地震作用简化为作用在刚体质心的等效水平静力。这个水平力的数值等于建筑物的重量乘以一个与结构本身动力特性无关的比例系数。1899年，大森房吉在其报告《砖柱和柱状物翻倒调查（人造地震动）》明确提出结构物所受的地震力P可以写成以下形式：
式中，W为结构体重量， k=αmax/g为地震系数，即结构在破坏时所受最大加速度等于地震动的最大加速度。
反应谱理论始于20世纪三四十年代，是伴随着强震观测记录的增多，以及对结构动力反应特性的研究而发展起来的。作为地震工程的核心概念，反应谱理论考虑了结构动力特性与地震动激励之间的关系，同时还保留原来的静力理论形式，在设计中仍把地震惯性力看作静力，配合弹性的容许应力或极限设计方法，因而应用便利。
目前，对于一般的中小型建筑，基于反应谱理论的底部剪力法和振型分解反应谱法的理论基础能够满足结构分析要求。而动力时程分析仍存在计算代价大，计算结果依赖于单元、本构选择等等问题，因此反应谱法依旧是目前结构抗震设计过程中的主流。
二、反应谱
单个地震波的反应谱，是指在特定的地面运动下，有阻尼单自由度体系（SDOF）的最大反应（通常指绝对加速度、相对速度、相对位移）与体系频率或周期的关系曲线。对大量特定场地条件的反应谱进行平滑处理，就能得到设计反应谱。
反应谱法将结构物的地震反应简化为若干振型反应的叠加来近似，结构物可以简化为多自由度体系，结构物的地震反应可按振型分解为多个自由度体系反应的组合。而每个单自由度体系的反应最大值可以由反应谱求得。
常用的反应谱包括位移反应谱(SD)、伪速度反应谱(PSV)、伪加速度反应谱(PSA)。通过对基线修正过的地震动记录进行卷积积分就能得到单个地震波的反应谱，本公众号2019年的文章《地震波转反应谱 附源码》中详细解释了几种数值积分方法，并给出了源码。
图1 EI Centro波S00E分量记录修正后加速度时程
及积分得到的速度位移时曲线[1]
图2典型的加速度、速度和位移放大率同频率及周期的关系
PSV和PSA与SD以及自振圆频率ω之间的关系为：
将相对最大位移SD，拟速度PSV，拟加速度 PSA的反应谱绘制在同一张对数坐标上，形成三联坐标反应谱（D-V-A谱）。如下图所示：
图3 阻尼比为2%、5%、10%时
EI Centro波的D-V-A三联反应谱
图中纵坐标V和横坐标频率f均为对数刻度，两个坐标D和A分别于横坐标倾斜+45°和-45°。三联反应谱最重要的作用就是为了近似估计设计谱的形状。
如图3所示，当频率小（即周期长）时，最大相对位移大，而拟加速度小；当频率大（即周期短）时，相对位移非常小，而拟加速度相对较大；对于中等大小的频率或周期，拟速度谱明显高于谱线两端。因此，可以将反应谱划分为三个区段：低频区（即位移段）、中频区（即速度段）、高频区（即加速度段）。谱位移与速度、谱速度与加速度的交点决定了设计谱的三个放大区段。在每个区段，相应的地面运动反应的放大程度达到最大。
从上图还可以看到，当频率很低（0.05 Hz或更低）时，谱位移与地面峰值位移接近，说明对于柔性特别大的体系，其最大位移反应与地面最大位移反应相等；当频率很高（25-30 Hz）时，拟加速度与地面峰值加速度接近，说明对于刚性体系，其绝对加速度与地面加速度相同。地震记录反应谱的外形是不规则的，可能含有多个高峰和低谷，随着阻尼比的增加，反应谱的形状会变得平滑。
三、设计反应谱
下图是Housner在1959年根据当时的四次地震八个记录所得平均反应谱，这是最早的设计反应谱。反应谱归一化到零周期加速度（地面加速度）为0.2g，对其他记录的反应谱则按比例调整。
图4 PGA归一化为0.2g的设计谱(Housner)[2]
图片来源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亚勇. 抗震设计手册[M]. 中国建筑工业出版社, 2008.
20 世纪 60 年代末，Newmark和Hall提出地震设计谱的直线形式。他们建议，加速度、速度和位移放大率设计谱分别在低频段、中频段和高频段保持常数（见表1），与此相应的地面峰值加速度、速度、位移分别为1. 0g、48in/s、36in，由此来标定设计谱。他们所建议的地面运动值和放大率是在若干地震记录基础上分析得出的，并未考虑场地条件的不同。图5表示绘制在三对数坐标上的设计谱，谱值是由相应地面运动值乘以放大系数得到的。在频率约为6Hz处，谱加速度下降到与地面峰值加速度相当。假定当阻尼比为2%时，加速度谱线与地面峰值加速度的交叉点在频率为30Hz处，其他阻尼比条件下的谱加速度下降段与阻尼比为2 %的谱加速度下降段平行。根据指定的加速度对归一化设计谱比例调整后，就可用于结构设计。
图5 PGA归一化为1.0g 的设计谱 （Newmark 和Hall）
图片来源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亚勇. 抗震设计手册[M]. 中国建筑工业出版社, 2008.
四、规范中的设计谱
如果设计允许结构出现非弹性变形，给定延性系数就可以对弹性力进行折减，得到非弹性结构的设计力。Riddell和 Newmark提出一系列系数，作为放大率折减因子，将这些系数乘以弹性设计谱得到非弹性屈服反应谱。
现行抗震规范采用地震力折减系数和位移放大系数来考虑结构由于非弹性反应吸收能量的能力。
我国的抗震规范有以下几个代表性版本。
（1）1959规范(1961修编)
1959年第一个草案参考了前苏联1957年规范，随后在1961年草案中做出了重大的改变，增加了我国学者的研究成果[3]。其中包括：废除场地烈度的方式，采用调整反应谱值而不调烈度来考虑场地条件影响的方式；将设计加速度系数分解为结构系数C与峰位加速度系数k，即KC=C·K ，该结构系数C在物理意义上即为地震力折减系数。
（2）78规范和89规范
78规范设计反应谱仅与场地土条件有关，阻尼比取5%，反应谱曲线长周期段以规律下降。为了避免长周期地震作用太小，对反应谱设定了一个下限值为αmin=0.2αmax的水平段，如下图所示。该水平段不符合反应谱理论，在震害实践中也并不存在。
89规范提供了考虑近、远震和不同场地条件的特征周期Tg，阻尼比为5%的标准设计反应谱，其最长周期为3s。
图6 78和89规范设计反应谱曲线
89规范制定时已经有了三水准两阶段的设计思想，当时认为小震比中震(设防地震) 低 1.55度左右，相应的地震力降低至约1/3。而从1964年草案开始对于一般建筑结构的结构系数C（地震力折减系数），规定该系数C=1/3，在89规范中取消了该系数。设计按中震烈度设防，但地震动参数αmax 为小震水平，即中震地震动参数乘以1/3。这样的做法在当时结构类型单一的情况下确实能够通过小震下的弹性设计同时实现小震不坏和中震可修。但是取消结构系数C忽略了不同结构类型的延性差异带来的地震力水平变化，使得建筑结构的实际安全度不一致。此外，78规范和89规范都没有提供不同阻尼比反应谱的调整方法。
（3）2001规范
2001规范对89规范的设计反应谱做了很大改进：为了适应高层建筑以及大跨度空间结构等基本周期超过3s的需要，将设计反应谱曲线的周期延长到6s；为了满足阻尼比小于5%的钢结构和组合结构抗震设计、以及阻尼比大于5%的隔震和消能减震建筑设计的需要，提供了不同阻尼比反应谱曲线的调整方法；采用三个设计地震分组取代远、近震，同时考虑远、近震和震源机制的影响；
2001规范的标准设计反应谱曲线分为四段：
直线上升段，周期小于0.1s的区段。
水平段，自0.ls至特征周期，取最大值αmax。
曲线下降段（速度控制段），自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数γ＝0.9。
直线下降段（位移控制段），自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1=0.02。
5. 当阻尼比5不等于0.05时，采用最大值的阻尼调整系数η2及对标准设计反应谱的形状参数γ、进行修正。后来的2010规范设计反应谱保持了2001规范反应谱的基本构架，只对反应谱形状参数和调整系数做了微调。
图7 2001规范设计反应谱曲线
结语
本文简要介绍了反应谱理论的发展过程、规范设计谱形状的确定，以及我国抗震规范相关内容的沿革。关于设计反应谱仍旧有包括平台段高度取值、下降段形状、特征点标定等等问题有待笔者进一步了解。
参考资料
1.Farzad, N., The seismic design handbook. Kluwer academic publication, 2005.
2.法扎德·奈姆, 奈姆, and 王亚勇, 抗震设计手册. 2008: 中国建筑工业出版社.
3.胡聿贤, 关于我国现行建筑抗震设计规范GBJ 11-89的几点讨论. 建筑结构学报, 1993. 14(3): p. 2-9.
4.廖振鹏, 地震小区划 : 理论与实践. 1989: 地震出版社.
5.国家标准建筑抗震设计规范管理组. 建筑抗震设计规范 (GB 50011-2010) 统一培训教材[M]. 地震出版社, 2010.
