试论梁的合理设计

　　【关键词】梁；设计；刚度；截面

      根据梁的强度和刚度要求，结合实际对梁进行合理设计，是材料力学的研究任务。梁设计的基本问题是如何保证在满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的代价，对梁进行合理设计，即满足实用又经济的要求。

　　一、梁设计讨论的依据

　　设计梁，实用上的要求就是跨度和承载能力。我们作强度和刚度计算的时候，梁的跨度和承受的载荷应视为给定条件，也是我们讨论的前提。关于经济的要求，要考虑施工条件、材料选择、截面尺寸、技术经济指标等几个方面，这里只能考虑材料和截面尺寸两个因素。下面几个公式作为我们讨论的根据：

　　1.正应力公式：

　　　　　　　　　　　　

　　2.剪应力公式：

                  

　　3.曲率公式：

                  

　　从公式上可以看出，和强度、刚度有关的就是M（x）、Q（x）、E、Iz和S这几个因素。M（x）、Q（x）与梁的跨度、载荷的种类（集中载荷或分布载荷）和作用的位置有关；E（还有[σ]）与所选用的材料有关，机器中的梁大多用钢材，钢结构中用型钢或用几根型钢制成组合钢梁。近代结构中广泛采用钢筋混凝土梁，在工程上，材料选择的范围是有限的。材料力学研究梁的一般理论，作强度、刚度的设计计算时，却是面对一根具体的梁。

　　二、根据内力图选择梁的受力形式

　　从内力图上看出，梁的各个截面上的内力一般是不相等的，设计时，首先要保证内力最大处（如Mmax作用的截面）的安全，似乎梁的截面也应该随着内力而变化才是最合理的，然而总不能把梁设计成锥形的或橄榄的形状，工程上大多设计成等截面梁，只在特殊情况下才设计成变截面梁，所以，梁在工作时，一般总是个别地方紧张，大部分地方不紧张，这是等截面梁固有的“缺点”。

　　受均布载荷作用的简支梁，在剪力为零的地方，弯矩为最大值，在弯矩为零的支座处，剪力又是最大值，这是一种“自然分工”。因此，在弯矩很小的地方，不能忽略剪力的影响，受均布载荷作用的很短的简支梁，如滑轮的轴和曲柄销等，设计时要按剪切强度计算。悬臂梁Qmax和Mmax产生在同一截面上，从这个意义上说，悬臂梁不是一种合理的结构形式。

　　载荷的布置一般是由使用要求确定的，但如有可能，改变载荷的位置或分布情况，将使梁的内力分布变得较为有利一些。

　　如图1所示：

               

                                                    

                              Mmax=Pab/L；

              图1

　　如图2所示：

                                    

                              Mmax=PL/4；

              图2

　　图2把集中载荷P作用在梁的中点，Mmax=PL/4＞Pab/L，可见载荷偏离中点将对梁产生有利的影响。

　　如图3所示：

               

                              Mmax=PC/2

             图3

　　图3梁的中间一段为纯弯曲，Mmax=PC/2＜PL/4；若将载荷P均匀分布于梁上如图4所示：

           

                              Mmax=qL2/8=PL/8

            图4

　　与图2所示的情报况相比，弯矩则减少一半。

　　如将支座向里移动如图5所示，成外伸梁：

          

                              Mmax=0.0214qL2

            图5

　　如取x=0.207L，可使支座弯矩与中间截面的弯矩数值相等，Mmax=0.0214qL2，此值约为图4的1/6，是最有利的。

     

 

            图6                              图7

　　图6、图7所示的超静定梁，和前面几种静定梁相比，显然要坚固得多，所以超静定梁结构在工程上有广泛的应用。

　　三、根据应力分布规律选择截面形状和尺寸

　　梁截面上的正应力和剪应力都不是均匀分布的，正应力在上下边缘处为最大，在中性层上正应力为0。剪应力在上下边缘处为0而中性层上为最大，为了增强钢梁的抗弯能力，以加强两翼，将梁做成工字形或箱形横截面为最合理。

　　一根梁，只有上下两条线上甚至只有两个点上的应力达到了最大值，是很不经济的，所以有些跨度大、荷载大的梁，人们常设计成桁架形式，如图8所示：

     

 

                               图8

　　桁架与梁起相同的作用，每一个截面上也有M(x)和Q(x)两个内力分量，不过它改变了内力分布的情况，使每一根杆的截面上基本上是均匀分布着正应力，并且可以根据各杆内应力的大小选用不同的截面，因而桁架的自重比用相同材料做成的梁要轻得多。

　　四、根据惯性矩Iz选择梁的截面形状和尺寸

　　从梁的正应力公式和曲率公式可知，改变梁的截面形状和尺寸以增大惯性矩Iz，对梁的强度和刚度产生非常有利的影响。下表是几种简单截面图形面积相等时的惯性矩之比：

 

 

　　从表中惯性矩之比可知，圆形截面是最不合理的，但是，圆形截面不但有良好的工艺性，而且具有各向同性的几何性质，这是其他形状所不能相比的。以圆形截面和环形截面相比较，在面积相等，当α=0.2时，圆形和圆环形的直径之比为D圆∶D环=1∶1.02，惯性矩之比为1∶1.08，所以环形截面比圆形截面更经济。将矩形和与之等面积等高的工字钢截面相比，Iz之比为1∶1.7～2.05，可见工字钢截面的惯性矩大得多，但也不能大很多倍，以保证有足够的稳定性和抗剪强度。

　　五、根据梁的挠度公式选择梁的形式

　　例如简支梁的挠度公式：

　　梁中作用集中载荷P：

                      

　　梁上作用均布载荷q：

                           

　　从梁的挠度公式可知挠度跟跨度的三次或四次幂成比例，设法缩小跨度将大大减小变形、提高刚度，只有在要求有一定跨度的情况下才用增大截面的方法来提高刚度。