悬臂梁为基本结构作梁内力图

关键词：悬臂梁 梁 内力图 截面法 叠加法 

　　材料力学是研究工程材料力学性能及构件强度、刚度和稳定性计算理论的科学，在工科专业的教学计划中占有重要地位，是最为重要的专业基础课之一。该课程的知识及理论既可直接应用于工程实践，又为后继相关课程奠定了必需的理论基础。在材料力学的教学中，内力图是分析危险截面、危险点，对构件进行强度计算的主要依据，内力图的绘制是材料力的核心内容之一。因此，快速、准确地绘制内力图对工程计算非常重要。 

　　在各种内力图中，轴力图、扭矩图相对简单，而梁弯曲变形时的剪力图和弯矩图较为复杂，初学者往往很难掌握和灵活运用。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图和叠加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量较大；利用微分关系并辅以典型控制断面法[2]，绘图速度较快，但需要较好的微积分基础；叠加法在只存在荷载叠加时，直观且方便，但在涉及到复杂结构的叠加时，学生难以理解。本文则在综合分析刚体静力平衡、截面法和叠加法基本原理的基础上，将梁转化为基本的悬臂梁结构，将支反力视为外荷载，连同原来的荷载逐一作用在该悬臂梁结构上，最后采用荷载叠加法得到原梁的内力图。 

　　1 基本方法 

　　平衡是力学中的重要概念，在材料力学中，当采用截面法作梁的内力图时，关键也是如何恰当地在构件内部应用平衡理论及平衡方程。截面法是假想在外力确定的情况下，把所研究的物体沿着某一位置用截面截开；取出其中的任意一段进行研究；在取出的这一段上外力（荷载或支反力）不变，同时用一个内合力（剪力和弯矩）来表示剩下的部分对所研究部分的力的作用；再根据考虑内力后所取部分应满足静力平衡条件，求解所在截面的内力。从截面法的基本原理可见：（1）截面内力可认为是在所取截面位置添加一个固定端约束因外力作用所产生的支反力；（2）在列平衡方程时，并未考虑所取杆件部分的连接形式及材料性质，本质上是将所取杆件部分认为是一段刚性杆。因此，采用截面法计算某一截面的内力时，该截面内力实际上就是将所取部分杆件看成是在截面处受固定端约束的悬臂梁结构因外力作用所产生的支反力，如图1和2所示。其中，图1为受均布荷载q和力偶M作用的梁结构，其mm断面的内力即为受到均布荷载q、力偶M以及支反力FB作用的悬臂梁结构在固定端处的支反力，如图2所示。进而，在原梁结构中所取部分杆件的内力与所对应悬臂梁结构的内力相同，即原梁结构在外部荷载作用下（图1）的内力与一端固定约束的悬臂梁结构受外部荷载和支反力共同作用的内力相同。 

　　对复杂荷载作用下悬臂梁结构内力的求解宜采用叠加法，叠加原理可表述为：在满足小变形假设的前提下，当构件或结构上同时作用多个荷载时，如果各荷载产生的效应（如支反力、内力、应力和位移等）互不影响（或影响很小，可忽略不计），则全部荷载所产生的总效应等于各荷载单独作用时所产生的效应之和（代数和或矢量和）。根据叠加原理，图3所示悬臂梁结构的内力为均布荷载、力偶以及支反力单独作用时的内力之和（如图4所示），其中支反力和不产生内力。 

　　综上分析，以悬臂梁为基本结构作梁内力图的方法的基本步骤可表述为： 

　　（1）根据梁的平衡条件，求支反力； 

　　（2）在左端或右端（以计算方便为原则）添加固定约束，形成相应的悬臂梁结构； 

　　（3）求各个外部荷载和支反力在悬臂梁结构上的内力； 

　　（4）将各个内力进行叠加，作原梁的内力图。 

　　2 举例 

　　采用该文所提出的方法，以图1所示的悬臂组合梁为例作其内力图。其中，、、段长度分别为、、，力偶。 

　　（1）根据梁的平衡条件，支反力、、； 

　　（2）在左端添加固定约束，形成相应的悬臂梁结构； 

　　（3）作均布荷载、力偶以及支反力单独作用在悬臂梁结构上时的内力图，如图5和6所示； 

　　（4）根据叠加法，得到该悬臂组合梁的内力图，如图7所示。 

　　3 结语 

　　该文以易于理解和掌握的悬臂梁结构为基础，灵活应用刚体静力平衡、截面法和叠加法的基本原理，提出了以悬臂梁为基本结构作一般梁内力图的方法。该方法思路清晰、计算简单、易于掌握，将其应用到实际当中，也收到了较好的教学效果。 

　　参考文献 

　　[1] 孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009. 

　　[2] 王正中，李平.材料力学[M].北京： 中国农业大学出版社，2008.